Говорим и пишем по-русски грамотно.
Употребление зависит от контекста и выбора части речи.
Навстречу – наречие или предлог, а на встречу – существительное с предлогом.
Единственное не вызывающее сомнений отличие между этими вариантами – склонение. Наречие/предлог навстречу просклонять невозможно.
Персона нон-грата или нон грата — как правильно?
Бежать навстречу солнцу – по направлению к солнцу. Мы не можем написать *навстрече солнцу, *навстречей солнцу.
Бежать на встречу – на собрание. Слово встреча здесь принимает на себя смысловой акцент. Склонять его мы можем, потому что это существительное: бежать на встречу, быть на встрече, быть довольным встречей.
Итак, правильно: навстречу, по направлению – наречие/предлог; на встречу – (куда?) существительное с предлогом.
